Luați în considerare următoarea ecuație pătratică: X2 = 9. Dacă ni se cere să o rezolvăm, am lua în mod natural rădăcina pătrată a 9 și sfârșește cu 3 și -3. Dar dacă metodele simple de rădăcină pătrată nu vor funcționa? Ce se întâmplă dacă ecuația include X ridicat la prima putere și nu poate fi ușor luat în calcul?
Din fericire, există o metodă pentru completând pătratul. Ca rezultat, o ecuație pătratică poate fi rezolvată luând rădăcina pătrată. Să explorăm împreună acest pas cu pas.
Să presupunem că ni se dă următoarea ecuație:
EXEMPLUL 1: Completarea pătratului
PASUL 1: Separați termenii variabili de termenul constant
Să ne simplificăm ecuația. Mai întâi, separați termenii care includ variabile de termenii constanți. Apoi scade X din 13x (rezultatul este 12x) și scade 7 din 6 (rezultatul este -1).
PASUL 2: Asigurați-vă că coeficientul lui X pătrat este egal cu 1
Metoda de completare a pătratului funcționează mult mai ușor atunci când coeficientul de X2 egal 1. Coeficientul în cazul nostru este egal cu 4. Împărțirea 4 în fiecare membru rezultă X2 + 3x = – 1/4.
PASUL 3: Completați pătratul
Mai întâi trebuie să găsim termenul constant al pătratului nostru complet. Coeficientul de X, care este egal 3 este împărțit la 2 și pătrat, oferindu-ne 9/4.
Apoi adăugăm și scădem 9/4 așa cum se arată mai sus. A face acest lucru nu ne afectează ecuația (9/4 – 9/4 = 0), dar ne oferă o expresie pentru pătratul complet X2 + 3x + 9/4.
PASUL 4: Factorul Expresia X pătrat + 3X + 9/4
Să ne amintim acum o mai generală (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 și utilizați-l în exemplul curent. Înlocuirea numerelor noastre ne oferă: X2 + 3x + 9/4 = x2 + 2 * (3/2) * x + (3/2)2 = (x + 3/2)2.
PASUL 5: Luați rădăcina pătrată
În cele din urmă, luarea rădăcinii pătrate din ambele părți ne oferă √ (x + 3/2)2 = ± √2. Sau pur și simplu x + 3/2 = ± √2. Încheiem acest lucru rezolvând pentru X: X1= √2 – 3/2 și X2 = – √2 – 3/2.
EXEMPLUL 2: Să rezolvăm încă unul
PASUL 1: Separați termenii variabili de termenul constant
Simplificați separând termenii cu variabile de termeni constanți. Apoi efectuați scăderea și adunarea pe ambele părți ale ecuației.
PASUL 2: Asigurați-vă că coeficientul lui x pătrat este egal cu 1
Aici, coeficientul de X2 este deja egal 1, deci nu este nevoie de alte acțiuni.
PASUL 3: Completați pătratul
Ca și în exemplul anterior, găsim termenul constant al pătratului nostru complet. Coeficientul de X, care este egal -8 este împărțit la 2 și pătrat, oferindu-ne 16.
Adunăm și scădem 16 și poate vedea asta X2 – 8x + 16 ne oferă un pătrat complet.
PASUL 4: Factorul Expresia X pătrat – 8X + 16
De la termenul constant -8 este cu semnul minus, folosim această formă generală: (x – a)2 = x2 – 2ax + a2. Folosirea numerelor noastre ne oferă: X2 – 8x + 16 = x2 – 2 * (4) * x + (4)2 = (x – 4)2.
PASUL 5: Luați rădăcina pătrată
În cele din urmă, luarea rădăcinii pătrate din ambele părți ne oferă √ (x – 4)2 = ± √11. Sau pur și simplu x – 4 = ± √11. Încheiem acest lucru rezolvând pentru X: X1 = 4 + √11 și X2 = 4 – √11
Și iată-l!
