Cum se rezolvă un sistem de ecuații liniare

O ecuație liniară este o ecuație care reprezintă o linie. Un sistem de ecuații liniare este atunci când există două sau mai multe ecuații liniare grupate împreună.

Pentru a simplifica ilustrația, vom lua în considerare sistemele a două ecuații. După cum sugerează și numele, există două variabile necunoscute. Adesea sunt desemnați prin litere X și y. Dacă ecuațiile descriu un anumit proces, literele pot fi alese în funcție de rolurile pe care le joacă. De exemplu, d poate sta la distanță și t pentru timp.

În acest articol vom învăța cum să rezolvăm sisteme de ecuații liniare folosind două metode distractive. Dar, înainte de a începe, să vedem cum ajungem cu un anumit sistem, analizând un exemplu din viața reală.

Derivarea unui sistem

Un băiat se urcă pe bicicletă și începe să meargă la școală. El călărește 200 metri în fiecare minut.

6 minute mai târziu, mama lui își dă seama că fiul ei și-a uitat prânzul. Se urcă pe propria ei bicicletă și începe să-l urmeze pe băiat. Ea călărește 500 metri în fiecare minut (este olimpică și medaliată cu aur).

Vrem să ne dăm seama cât durează mama să-l ajungă pe băiat și cât de departe trebuie să călătorească pentru a face acest lucru.

Din moment ce băiatul acoperă 200 de metri în fiecare minut, în t minute pe care le va acoperi 200 ori t curți sau 200t curți.

Mama lui începe cu bicicleta 6 minute mai târziu, așa că pleacă pentru (t – 6) minute. Deoarece acoperă 500 de metri în fiecare minut, acoperă în (t – 6) minute 500 ori (t – 6) curți sau 500 (t – 6) curți.

Până când îl atinge, amândoi au parcurs aceeași distanță. Să spunem deocamdată că distanța este d.

Pentru băiatul pe care îl avem d = 200t iar pentru mama lui avem d = 500 (t – 6). Acum avem sistemul nostru de două ecuații.

Se adaugă adesea o acoladă pentru a indica faptul că ecuațiile formează un sistem.

Acum să vedem cum putem rezolva acest sistem.

Rezolvarea prin substituire

Prima metodă pe care o vom lua în considerare utilizează substituţie.

Avem două necunoscute aici, d și t. Ideea este de a scăpa de o variabilă prin exprimarea acesteia folosind cealaltă variabilă.

Ecuația de sus ne spune că d = 200t, așa că hai să ne conectăm 200t pentru d în ecuația de jos. Ca rezultat, avem o ecuație cu doar t variabil.

Mai întâi extindem partea dreaptă: 500 (t -6) = 500t – 500 * 6 = 500t – 3000.

Apoi simplificăm mutând membrii necunoscuți într-o parte și membrii cunoscuți pe cealaltă. Rezultatul este: 500t – 200t = 3000.

Rezolvarea pentru t ne ofera t = 10, sau din moment ce măsurăm timpul în minute, t = 10 minute. Cu alte cuvinte, mama îl va ajunge pe fiul ei în 10 minute.

A doua parte a problemei noastre este să aflăm cât de departe a trebuit să parcurgă ciclul pentru a-l ajunge din urmă.

Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să găsim d. Înlocuirea t = 10 în oricare dintre ecuații ne va oferi acel răspuns.

Pentru a ușura, lăsați să folosiți ecuația de sus, d = 200t = 200 * 10 = 2000. Deoarece măsurăm distanța în yarzi, d = 2000 de yarzi.

Să testăm înțelegerea dvs. până acum – încercați să rezolvați singur sistemul următor:

În sistemul de mai sus, variabilele necunoscute sunt X și y.

Din ecuația de sus știm că y = 2x. Înlocuind asta cu ecuația de jos ne dă 2 (2x) = 3 (x + 1).

Odată ce ne extindem și simplificăm, obținem 4x = 3x + 3. Sau x = 3. Prin urmare, y = 2 * 3 = 6.

Rezolvarea prin grafic

A doua metodă pe care o vom lua în considerare utilizează grafic, unde găsim soluția unui sistem de ecuații prin graficarea lor.

De exemplu, luați acest sistem: y = 2x + 3 și y = 9 – x.

Un grafic al fiecărei ecuații va fi o linie. Primul pentru y = 2x + 3 arata asa:

Apoi, putem grafica o linie pentru y = 9 – x:

Aceste două linii se intersectează exact la un moment dat. Acest punct este singura soluție la ambele ecuații:

Perechea comandată (2, 7) ne dă coordonatele punctului nostru de intersecție. Această pereche este soluția sistemului. Înlocuind x = 2 și y = 7 ne va permite să verificăm acest lucru.

Ce se întâmplă dacă graficele sunt paralele și nu se intersectează deloc? De exemplu:

Când graficele ecuațiilor nu se intersectează, înseamnă că sistemul nostru nu are nicio soluție. Încercarea de a rezolva prin substituție va dovedi că.

Rezultatul x – 1 = x – 3 va fi 0 = -2, care este mereu fals.

Dar dacă două grafice sunt aceleași și sunt direct una peste alta?

În astfel de cazuri există un număr infinit de puncte de intersecție. Asta înseamnă că sistemul nostru are un număr infinit de soluții. Folosirea metodei de substituție va dovedi că.

Rezultatul x – 2 = x – 2 este 0 = 0, care este întotdeauna adevărat.

Mai practic

Încercați să utilizați atât metodele de substituție, cât și metodele grafice pentru a rezolva următoarele sisteme. Aceste metode se completează reciproc și vă vor ajuta să vă consolidați cunoștințele.

Alegerea unei anumite variabile de utilizat în substituție ar trebui să faciliteze găsirea unei soluții.

Încercați să exprimați X cu alți doi membri în ecuația de sus, apoi înlocuiți rezultatul în ecuația de jos. În acest fel veți evita să vă ocupați de fracțiuni.

Să facem încă o provocare:

Acum, că știți suficient despre substituție și grafic, ieșiți acolo și rezolvați ecuații mai liniare.