Ce este metoda lui Euler?

Metoda lui Euler este o procedură numerică de ordinul întâi pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite (ODE) cu o valoare inițială dată.

Problema generală a valorii inițiale

Metoda lui Euler explicata cu

Metodologie

Metoda lui Euler folosește formula simplă,

1611716105 358 Metoda lui Euler explicata cu

pentru a construi tangenta la punct x și obțineți valoarea y(x+h), a cărui pantă este,

1611716105 568 Metoda lui Euler explicata cu
1611716105 644 Metoda lui Euler explicata cu

În metoda lui Euler, puteți aproxima curba soluției prin tangenta din fiecare interval (adică printr-o succesiune de segmente de linie scurtă), la pași de h.

În general, dacă utilizați o dimensiune mică a treptelor, precizia aproximării crește.

Formula generală

1611716105 562 Metoda lui Euler explicata cu
1611716106 965 Metoda lui Euler explicata cu

Valoare funcțională în orice moment b, dat de y(b)

1611716106 689 Metoda lui Euler explicata cu

Unde,

  • n = numărul de pași
  • h = lățimea intervalului (dimensiunea fiecărui pas)

Pseudo cod

1611716106 558 Metoda lui Euler explicata cu

Exemplu

Găsi y(1), dat

1611716106 824 Metoda lui Euler explicata cu

Rezolvând analitic, soluția este y = eX și y(1)= 2.71828. (Notă: Această soluție analitică este doar pentru a compara precizia.)

Folosind metoda lui Euler, luând în considerare h = 0.2, 0.1, 0.01, puteți vedea rezultatele în diagrama de mai jos.

1611716106 280 Metoda lui Euler explicata cu

Cand h = 0.2, y(1) = 2.48832 (eroare = 8,46%)

Cand h = 0.1, y(1) = 2.59374 (eroare = 4,58%)

Cand h = 0.01, y(1) = 2.70481 (eroare = 0,50%)

Puteți observa cum se îmbunătățește precizia atunci când pașii sunt mici.