Permutațiile și combinațiile sunt foarte utile în atât de multe aplicații – de la programarea computerului la teoria probabilităților până la genetică.

Vă voi prezenta aceste două concepte unul lângă altul, astfel încât să puteți vedea cât de utile sunt.

Diferența cheie dintre aceste două concepte este ordonarea. Cu Permutări, te concentrezi asupra liste de elemente în care contează ordinea lor.

De exemplu, m-am născut în 1977. Acesta este numărul 1 urmată de număr 9, urmat de număr 7, urmat de număr 7. În această ordine specială.

Dacă schimb comanda în 7917 în schimb, ar fi un an complet diferit. Astfel, ordinea contează.

Cu Combinații pe de altă parte, accentul este pus pe grupuri de elemente acolo unde face ordinea nu contează.

ad-banner

Ca și ceașca mea de cafea este o combinație de cafea, zahăr și apă. Nu contează în ce ordine am adăugat aceste ingrediente. Poate fi la fel de bine apă, zahăr și cafea, este în continuare aceeași ceașcă de cafea. Astfel, ordinea face nu contează.

Acum să aruncăm o privire mai atentă asupra acestor concepte.

Partea 1: Permutații

Permutații unde este permisă repetarea

Imaginează-ți că ai un telefon nou. Pe măsură ce începeți să utilizați acest nou telefon, la un moment dat vi se va cere să configurați o parolă.

Apropiat și personal
Imagine a ecranului unui smartphone

Parola trebuie să fie formată din 4 cifre. Orice 4 cifre. Și pot fi repetate.

Sunt 10 cifre în total pentru a începe cu. Acestea sunt: ​​0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Deci, pentru prima cifră a parolei, aveți 10 alegeri.

Deoarece puteți utiliza din nou aceeași cifră, numărul de opțiuni pentru a doua cifră a parolei noastre va fi 10 din nou! Astfel, alegând două dintre cifrele parolei de până acum, permutările sunt De 10 ori 10, sau 10 x 10 = 100 sau 102.

Aceeași gândire este valabilă și pentru a treia cifră a parolei. Alege din nou din aceleași 10 alegeri. De data asta vei avea De 10 ori de 10 ori 10, sau 10 x 10 x 10 = 1.000 sau 103 permutări.

În cele din urmă, pentru a patra cifră a parolei și aceleași 10 cifre din care să alegem, vom termina cu De 10 ori de 10 ori de 10 ori 10, sau 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 sau 104 permutări.

După cum probabil ați observat, ați avut 4 alegeri de făcut și ați înmulțit 10 patru ori (10 x 10 x 10 x 10) pentru a ajunge la un număr total de permutări (10.000). Dacă ar fi să alegi 3 cifre pentru parola dvs., ați înmulți 10 Trei ori. Dacă 7, ai face-o Șapte ori și așa mai departe.

Dar viața nu ține doar de parole cu cifre din care să alegi. Ce se întâmplă dacă aveți o petrecere de ziua de naștere și trebuie să alegeți 5 baloane colorate din 20 diferite culori disponibile?

1611687670 320 Permutare si combinatie diferenta explicata cu exemple de
imagine a baloanelor colorate

Deoarece aveți 20 de culori diferite pentru a alege și puteți alege din nou aceeași culoare, pentru fiecare balon pe care îl aveți 20 alegeri. Primul balon este 20, al doilea balon este De 20 de ori 20, sau 20 x 20 = 400 etc. Pentru al cincilea balon pe care îl primești 20 x 20 x 20 x 20 x 20 = 3.200.000 sau 205 permutări.

Să rezumăm cu regula generală: când ordinea contează și repetarea este permisă, dacă n este numărul de lucruri din care puteți alege (baloane, cifre etc.) și alegeți r dintre ele (5 baloane pentru petrecere, 4 cifre pentru parolă etc.), numărul permutărilor va fi egal P = nr.

Permutații în care repetarea nu este permisă

În continuare, să luăm în considerare cazul în care repetarea nu este permisă. De exemplu, ne vom uita la planetele sistemului nostru solar.

Permutare si combinatie diferenta explicata cu exemple de formula
imagine a planetelor sistemului solar

Câte moduri diferite le puteți aranja 8 planete? Planetele sunt: Mercur, Venus, Pământ, Marte, Jupiter, Saturn, Uranus și Neptun. După ce alegeți, să zicem, Mercur, nu îl mai puteți alege. Astfel, trebuie să reduceți numărul de opțiuni disponibile de fiecare dată când planeta este aleasă.

Prima alegere va avea 8 posibilități. A doua alegere va avea 8 minus 1 este egal cu 7 posibilități, atunci 6, urmat de 5, urmat de 4, până vom avea 1 planeta lăsată în listă.

Urmând logica din scenariul anterior, numărul total de permutări este: P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320.

Cu alte cuvinte, acesta este un produs al întregului 8 și al tuturor numerelor pozitive de sub el. Acest produs se numește Factorială și este notat cu un semn de exclamare, astfel: 8!

Numărul permutațiilor este egal P = 8! sau mai general P = n!

Ce se întâmplă dacă trebuie doar să aranjați, să spunem, 5 dintre acestea 8 planete în loc de toate? Atunci iei doar primele 5 pași în metoda noastră. Și anume, P = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720 va fi câte modalități puteți aranja 5 planete din 8.

Dar de ce să ne oprim aici? De ce să nu ne aplicăm logica pentru a veni cu o formulă mai generală? Pentru a face ușor de reținut notația de mai sus pentru orice număr de obiecte, vom folosi un truc. Într-o fracție, înmulțirea atât a numărătorului, cât și a numitorului cu același număr (cu excepția zero), nu afectează acea fracție. Prin urmare:

Permutare si combinatie diferenta explicata cu exemple de formula
P (n, r) = n! / (n – r)!

Numărul de planete din care să alegeți n = 8, tu alegi r = 5 dintre ei. Înlocuirea numerelor în formula de mai sus ne oferă P = 8! / (8 – 5)! = 8! / 3!. La fel ca 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6.720.

De aici, se poate obține rezultatul din exemplul anterior. Acolo, ai aranjat totul 8 din 8 planete disponibile. Folosind noua formulă, P = 8! / (8 – 8)! = 8! / 0!. Deoarece, factorial de zero este de acord cu egal 1, P = 8! / 1 = 8 !. Sau mai general:

P = n! / (n – n)! = n! / 0! = n!.

O notație scurtă și convenabilă des utilizată este: P (n, r) = n! / (n – r)!

Amintirea formulelor este importantă. Dar ceea ce este mai important pentru rezolvarea problemelor din viața reală este să știi ce formule să folosești în fiecare situație. Practica ajută.

Test rapid:

Turneul este activ și șase echipe concurează. Primul loc primește aur, iar locul doi primește medalii de argint. Câte moduri distincte pot fi acordate medaliile acestor echipe?

Alegeți 1 răspuns







Explicație: ai 6 echipe din care să alegi. Prin urmare n = 6. Aurul și argintul îți dau împreună 2 medalii de acordat. Prin urmare r = 2. Înlocuirea acestor numere în formula dvs. ne oferă P (6, 2) = 6! / (6 – 2)! = 6! / 4! = 6 x 5 = 30.

Partea 2. Combinații

Combinații fără repetare

Pentru a face comparația mai vie, să revedem exemplul nostru de selecție a planetei. Ce se întâmplă dacă doriți să știți exact ce planete sunt alese și nu ordinea lor de apariție?

Acolo ai avut 6.720 de moduri distincte de a aranja 5 din 8 planete. Dar, din moment ce ordinea de apariție o face nu contează acum, multe dintre aceste căi sunt redundant. Sunt la fel pentru noi.

A grup de Venus, Pământ, Marte, Jupiter, Saturn este același grup ca Marte, Jupiter, Venus, Pământ, Saturn și grup ca Saturn, Marte, Pământ, Jupiter, Venus. Acestea sunt doar secvențe diferite ale acelorași 5 planete.

Câte grupuri aveți la fel? Dacă alegeți r planete pe grup, veți obține r! grupuri. Pentru r = 5, primesti r! = 5! = 120 grupuri.

Astfel, pentru a elimina grupurile inutile care sunt aceleași, împărțiți numărul originalului 6.720 Permutări de 5!. Rezultatul este 6.720 / 120 = 56.

A generaliza, pentru a ajunge la numărul de Combinații, trebuie să vă dați seama de toate Permutări și împarte la toate Concedieri.

Utilizarea unei notări scurte și convenabile: C (n, r) = P (n, r) / r! = n! / (r! (n – r)!)

1611687670 996 Permutare si combinatie diferenta explicata cu exemple de formula
C (n, r) = n! / (r! (n – r)!)

Și acest lucru presupune că ordinea este nu contează și există Nu repetări (adică – există un singur Jupiter din care să alegi).

Să revedem exemplul turneului:

Turneul este activ și șase echipe concurează. Primul loc primește aur, iar locul doi primește medalii de argint. Câte grupuri de câștigători de medalii sunt posibile? Ordinea echipelor nu contează

Alegeți 1 răspuns







Ca și înainte, ai făcut-o 6 echipe. Prin urmare, n = 6. Există două medalii acordate, deci r = 2. Cu toate acestea, de data aceasta nu contează cine câștigă aurul și cine câștigă argintul. Aurul echipei și argintul echipei este același cu argintul echipei și aurul echipei. Înlocuirea acestor numere în formula dvs. ne oferă C (6, 2) = 6! / (2! (6 – 2)!) = 6! / 2! 4! = 15.

Combinații cu repetare

Pentru a completa acest articol, există un caz care necesită o atenție specială. Până acum, în combinațiile noastre, am presupus că nu există repetări. Nu există două elemente identice.

Ce se întâmplă dacă noi poate sa au repetari? Ce se întâmplă dacă, la fel ca în exemplul nostru anterior, putem alege mai multe baloane de aceeași culoare? Dacă numărul de baloane din care alege este n iar noi alegem r dintre ei în timp ce permițând pentru aceleași culori și nesocotind ordinea aranjamentului, vom termina cu (n + r – 1)! / (r! (n – 1)!) Combinații.

Deci, încheiind, iată un tabel pe care îl puteți utiliza pentru a face referire la aceste concepte și formulele lor.

1611687670 561 Permutare si combinatie diferenta explicata cu exemple de formula
Tabel cu formule pentru permutații și combinații

Sper că acest articol v-a ajutat să înțelegeți mai bine aceste două concepte matematice importante. Mulțumesc pentru lectură.